newAD2 - program pro optickou charakterizaci

Cvičení 4 - modelování neuniformních vzorků

V tomto cvičení si dále ukážeme, jak zavést neuniformitu vzorků, zdroj depolarizace.

Další funkcí newAD2, se kterou se v tomto cvičení seznámíme, je možnost definovat samostatně tloušťku vrstvy (a další parametry) pro různé druhy měření. Toto je výhodné pro vzorky, které nemají konstantní tloušťku na celé ploše a protože ne pokaždé se podaří zacílit všechny měření do stejného místa, můžeme očekávat rozdíly v tloušťce nebo jiných parametrech pro různá měření. Jedná se vlastně o nejjednodušší model neuniformity podél povrchu, kdy předpokládáme, že střední hodnota parametru pro jednotlivá měření je různá. I minimální rozdíl ve střední hodnotě tloušťky přitom může výrazně posunout interferenční obrazec. Vyjdeme z modelu prezentovaného ve cvičení 3. V modelfilu je toto možné udělat dvěma způsoby. První způsob zahrnuje definování dvou strukturních parametrů, např. dfE a dfR, a dále duplikaci matice na rozhraní a měření pro každý typ měření:
```
....
structural parameters:
dfR = 400 : d<sub>fR</sub> : [10,2000] nm
dfE = 400 : d<sub>fE</sub> : [10,2000] nm

.....

boundary systems:
ME = B(a,SiO2)*T(SiO2,dfE)*B(SiO2,cSi)
MR = B(a,SiO2)*T(SiO2,dfR)*B(SiO2,cSi)

sample measurements:
E = Surface(ME)
R = Surface(MR)

functions:
Is,Ic,In-UVV = IsIcIn(E)
R-UVV = R(R)
.....
```
Jednodušší způsob je nicméně pomocí funkce measurement = Delta(par). Ta definuje novou proměnnou delta_par_measurement pro zvolené měření measurement a parametr par. Při výpočtu Muellerovy matice se pro zvolené měření hodnota parametru par nahradí hodnotou par+delta_par_measurement. Modelfile pak vypadá takto: Stáhnout modelfile
Vstupní data použijeme totožná s daty ve cvičení 3. Pokračujte v adresáři cvičení 3, nebo si vytvořte nový adresář a stáhněte si vstupní datové soubory pro odrazivost a elipsometrii (vzorek X2551). Nejprve proveďte fit parametrů $d_{\rm f}$, $B_1$ a $\lambda_1$ s fixovanou hodnotou $\delta(d_{\rm f})=0$. Dostaneme stejný výsledek jako ve cvičení 3, který si zobrazíme pomocí grapheru:

Kromě fitovaných veličin $I_{\rm s}$, $I_{\rm c}$, $I_{\rm n}$ a $R$ jsme v grapheru zobrazili i stupeň polarizace $P=\sqrt{I_{\rm s}^2+I_{\rm c}^2+I_{\rm n}^2}$, který je vhodný pro popis částečně polarizovaného světla, a veličinu $\delta(R)=R_{\rm th}-R_{\rm exp}$, vhodnou pro zobrazení malých rozdílů mezi teoretickými a experimentálními hodnotami.
V dalším kroku proveďte fit včetně parametru $\delta(d_{\rm f})$:

Jak je vidět, zavedení různých tlouštěk zlepšilo fit odrazivosti přibližně o 14% ($\chi^{\rm R}=3.8489\to3.3229$), zatímco elipsometrická data o 5% ($\chi^{\rm E}=21.223\to20.216$). Přidaný parametr $\delta(d_{\rm f})$ vylepšil fit z hlediska poloh interferenčních maxim a minim v měřených veličinách. Neměl však vliv na stupeň polarizace světla v rámci fitu elipsometrických dat.
Jedním ze zdrojů depolarizace světla je neuniformita vzorku, tedy to, že každá část vzorku podél povrchu odráží světlo s jiným polarizačním stavem, čímž ve výsledku dostaneme částečně polarizované světlo. Abychom tohoto dosáhli, v rámci modelu zavedeme místo funkce measurement = Delta(par) funkci measurement = Wedge(par), která zajistí, že výsledná Muellerova matice měření se spočítá jako $$ {\bf M} = \int {\bf M}(p) w(p) {\rm d} p \,, $$ kde $p$ je parametr, který je v rámci osvětlené stopy neuniformní (v našem případě tloušťka vrstvy $d_{\rm f}$) a $w(p)$ je distribuční funkce tohoto parametru. V případě funkce Wedge (klín) se předpokládá, že parametr je neuniformní tak, že funkční závislost parametru má konstantní gradient na kruhové stopě. Potom je distribuční funkce popsána dvěma parametry: střední odchylkou $\delta(d_{\rm f})$ (jde o stejný parametr jako u funkce Delta) a střední kvadratickou odchylkou $\sigma(d_{\rm f})$. Tuto funkci aplikujeme na obě Muellerovy matice, tedy na matici E i na matici R: Stáhnout modelfile
Jelikož střední tloušťky vrstvy odpovídající oběma měřením jsou nyní popsány třemi parametry, musíme jeden parametr $\delta(d_{\rm f})$ nebo přímo parametr $d_{\rm f}$ zafixovat, abychom mezi těmito parametry nevytvořili korelaci. Jako volné parametry fitu přidáme jen parametry $\sigma(d_{\rm f})$:

Poznamenejme, že parametry $\sigma(d_{\rm f})$ jsme před fitem nastavili na malou nenulovou hodnotu, protože derivace počítaných funkcí podle těchto parametrů v nulové hodnotě jsou nulové a fitovací algoritmus se nedokáže od těchto hodnot odlepit, i když funkční hodnoty počítá program správně. Z výsledků je zřejmé, že zavedení parametrů $\sigma(d_{\rm f})$ podstatně zlepšilo fit elipsometrických dat, zatímco vliv na odrazivost byl minimální. Dokonce $\chi$, vyjadřující shodu mezi experimentem a teorií v případě odrazivosti, mírně vzrostlo.