newAD2 - program pro optickou charakterizaci

Univerzální disperzní model

Univerzální disperzní model (UDM) je základní model používaný v newAD2 pro výpočet optických konstant kondenzovaných látek [7,8]. Model nemá konstantní počet parametrů. Počet parametrů závisí na tom, z kolika příspěvků je model složen. Jednotlivé příspěvky reprezentují typy elementárních excitací v kondenzované látce. Počet příspěvků je modifikován pomocí atributů modelu, přičemž model je složen nejméně z tříparametrického příspěvku reprezentující mezipásové elektronové přechody. V textovém módu newAD2 je navíc umožněno atributy a hodnoty parametrů modelu uložit do souboru Universal-id.par pomocí příkazu par save. Toto je způsob jak distribuovat optické konstanty mezi jednotlivé fity nebo uživatele. V modelu (v modelfile) místo atributů může být zadáno jméno souboru parfile:

modelfile

Universal[:attributes|parfile]

parfile

attributes
Nvc = value
Eg = value
Eh = value
...

newAD2 command

parameters save Universal-id

(uloží atributy a hodnoty parametrů prostředí id do Universal-id.par)

Poznamenejme, že atributy mohou být uvedeny v libovolném pořadí, a že nezáleží na pořadí parametrů.

udm program

Pro uživatele, kteří chtějí exportovat výsledky charakterizace optických konstant získaných pomocí UDM v podobě tabulky je připraven jednoduchý program udm. Tento program vygeneruje optické konstanty v závislosti na energii fotonu (eV), vlnové délce (nm), vlnočtu (1/cm) nebo frekvenci (THz).

Užití:
udm - zobrazí nápovědu
udm parfile - vytiskne tabulku optických konstant materiálu definovaného v parfile (4001 řádků pro energii v rozsahu 0.01-100 eV s exponenciální distribucí)
udm parfile lambda=190~850:661 - vytiskne tabulku optických konstant materiálu definovaného v parfile (661 řádků pro vlnovou délku v rozsahu 190-850 nm s lineární distribucí, tj. s krokem 1 nm).
Více viz. nápověda.

Stáhnout:
zdrojový kód v C++
pro Linux
pro Windows

Elektronové excitace

Obrázek 1. Schématický diagram elektronové hustoty stavů valenčních elektronů: σ - valenční pás; σ^* - vodivostní pás; ξ^* - pás vyšších excitovaných stavů; λ - obsazené lokalizované stavy; λ^* - neobsazené lokalizované stavy.

V následujících odstavcích si demonstrujeme užití jednotlivých atributů v závislosti na typu elementárních excitací. Pro popis elektronových excitací použijeme základní schéma uvedené na obrázku 1. Elektronové excitace jsou poté klasifikovat pomocí všech možných kombinací přechodů mezi obsazenými pásy σ a λ a neobsazenými pásy σ^*, λ^* a ξ^*.

Mezipásové přechody

Základní tří parametrický model zahrnuje přechody elektronů z valenčního do vodivostního pásu. V základním schématu jsou reprezentovány přechody σ → σ^*. Jeho parametry jsou Nvc (síla přechodů, eV²), Eg (minimální energie přechodů - band gap, eV) a Eh (maximální energie přechodů, eV).

Obrázek 2. Schématický diagram sdružené hustoty stavů mezipásových přechodů.

modelfile

Universal

parfile

Nvc = 400
Eg = 5
Eh = 30

Poznamenejme, že v tomto případě parfile začíná povinným prázdným řádkem.

Obrázek 3. Optické konstanty počítané na základě 3 parametrického modelu mezipásových přechodů. Šedé pruhy reprezentují absorpční prahy pro různě tlusté prostředí.

Dielektrická odezva vykazuje nenulovou absorpci pouze pro světlo s energií fotonu mezi hodnotami Eg a Eh. V reprezentaci sdružené hustoty stavů (JDOS) představuje symetrický široký pás s kvadratickými závislostmi v okolí Eg a Eh (viz. obrázek 2). Ovšem v reprezentaci dielektrické odezvy pomocí optických konstant absorpční pás má asymetrický tvar (viz. obrázek 3). Optické konstanty jsou počítané pro demonstraci s ukázkovými hodnotami parametrů uvedených v parfile. Taková jednoduchá 3 parametrická formule je v praxi použitelný pouze pro neabsorbující dielektrika, tj. v oblasti energií menších než Eg nebo těsně nad hodnotou Eg, protože absorpční pás má většinou mnohem komplikovanější strukturu. Navíc díky existenci neobsazených stavů ξ^* kondenzované látky absorbují světlo i pro hodnoty energie fotonu vyšší než je hodnota Eh. Proto je většinou nutné použít víceparametrické modely v oblasti mezipásových přechodů. V případě 3 parametrické formule je tento model ekvivalentní empirickým modelům jako je Cauchyho nebo Sellmeieriova formule.

Modifikace mezipásových přechodů pomocí excitonů

V kondenzované látce dochází díky vícečásticovým efektům k přesunu (redistribuci) síly přechodu z vyšších energií do části spektra s nižší energií. Průběh absorpce je potom tímto způsobem deformován a neodpovídá sdružené hustotě stavů, která by odpovídala jednoelektronové aproximaci. Především v krystalických látkách se při dostatečně nízkých teplotách navíc objevují efekty vykazující velmi úzké struktury, které se obecně nazývají excitony a se vzrůstající teplotou mizí. Zároveň sdružená hustota stavů krystalů může vykazovat relativně úzké struktury zvané Van Hoveovy singularity, které ovšem jsou prakticky teplotně nezávislé. Nakonec absorpční pásy kondenzovaných látek mají různý tvar, který je daný distribucí stavů (DOS) valenčních a vodivostních elektronů a pravděpodobnostmi jejich přechodů mezi těmito obsazenými a neobsazenými stavy. Všechny tyto efekty jsou modelovány, ať jsou nebo nejsou v pravém slova smyslu excitony, pomocí `excitonových' příspěvků popsaných 3 parametry: Aex (amplituda), Eex (charakteristická energie, eV) a Bex (šířka píku, eV). Navíc se v seznamu parametrů objeví parametr A0, který reprezentuje amplitudu symetrického příspěvku odpovídající základnímu 3 parametrickému příspěvku. Pomocí této modifikace lze modelovat prakticky libovolnou dielektrickou odezvu mezipásových přechodů kondenzovaných látek.

Jako příklad si uvedeme model se dvěma excitonovými příspěvky, i když počet příspěvků není nijak omezen.

Obrázek 4. Schématický diagram sdružené hustoty stavů mezipásových přechodů modifikované dvěma excitony.

modelfile

Universal:ex=2

parfile

ex=2
Nvc = 400
Eg = 5
Eh = 30
A0 = 1
Aex1 = 0.2
Eex1 = 6
Bex1 = 0.5
Aex2 = 0.3
Eex2 = 12
Bex2 = 1

Obrázek 5. Optické konstanty počítané na základě modelu mezipásových přechodů modifikovaných dvěma excitony. Tečkovaná čára představuje model bez excitonové modifikace. Šedé pruhy reprezentují absorpční prahy pro různě tlusté prostředí.

Poznamenejme, že negativní nebo neplatná hodnota atributu ex vyvolá chybu a ex=0 je platný, ale nemá žádný efekt. Při fitování je nutné jeden s parametrů amplitud zafixovat v nenulové hodnotě, protože hodnoty amplitud jsou absolutně korelované s parametrem Nvc (většinou se volí A0=1). Důležitá vlastnost je, že absorpce všech příspěvků je opět omezena na interval mezi Eg a Eh. Abychom zabránili korelacím mezi parametry, hodnoty charakteristických energií Eex jsou omezeny na tento interval.

Excitace valenčních elektronů do vyšších energiových stavů

Valenční elektrony kromě excitací do vodivostního pásu mohou též excitovat do vyšších energiových stavů. Čím vyšší je excitovaná energie elektronu, tím více konečné stavy elektronů ztrácí charakter pásové struktury a blíží se volným elektronům, tj. polonekonečnému pásu bez výrazných struktur. Tedy sdružená hustota stavů klesá s energií jako 1/E (viz. obrázek 6). V základním schématu je tento pás reprezentován přechody (σ+λ) → ξ^*. UDM pro vyjádření používá jednoduchou 2 parametrickou funkci, jejíž parametry jsou Ex (minimální energie vyššího excitovaného stavu měřena vzhledem k Fermiho energii, eV) a Nvx (síla těchto přechodů, eV²).

Obrázek 6. Schématický diagram sdružené hustoty stavů přechodů do vyšších energiových stavů.

modelfile

Universal:ex=2:he

parfile

ex=2:he
Nvc = 400
Eg = 5
Eh = 30
A0 = 1
Aex1 = 0.2
Eex1 = 6
Bex1 = 0.5
Aex2 = 0.3
Eex2 = 12
Bex2 = 1
Nvx = 1000
Ex = 10

Obrázek 7. Optické konstanty počítané na základě modelu všech excitací nelokalizovaných valenčních elektronů. Tečkovaná čára představuje model bez přechodů do vyšších energiových stavů. Šedé pruhy reprezentují absorpční prahy pro různě tlusté prostředí.

Poznamenejme, že absorpce tohoto příspěvku začíná na energii Ex+Eg/2. Aby bylo možné udržet parametr Ex ve fyzikálně rozumných hodnotách je jeho hodnota vázána na interval mezi Eg a Eh. Vhledem k tomu, že většinou celý příspěvek přechodů do vyšších energiových stavů leží mimo rozsah běžných laboratorních přístrojů, tj. absorbuje pro energie fotonů větší než 10 eV, je takto konstruovaný model přeparametrizovaný a je nutné přistoupit k zafixování některých parametrů. Většinou parametry Ex a Eh fixujeme v odhadnutých hodnotách, například v hodnotách predikovaných pomocí teoretických výpočtů. V tomto případě volný parametr tohoto příspěvku Nvx hraje roli ofsetu reálné části dielektrické odezvy, kterou většinou hraje parametr ε_∞. Jiná možnost je ovšem experimentální data doplnit tabelovanými hodnotami optických konstant, pokud jsou pro studovaný materiál dostupná.

Urbachův (exponenciální) chvost

V případě že je nutné charakterizovat vrstvy ve spektrální oblasti nad i pod hodnotou energie Eg, je nutné model doplnit o efekty spojené s existencí lokalizovaných stavů, protože v této oblasti vliv těchto elektronových stavů nelze zanedbat. Lokalizované stavy v kondenzovaných látkách existují především v neuspořádaných strukturách a v materiálech vykazující defekty či příměsi. Ovšem ve slabší míře existují při konečné teplotě i v ideálních krystalech díky neuspořádanosti vyvolané kmity atomových jader. V základním schématu Urbachův (exponenciální) chvost je reprezentovány přechody λ → σ^* a σ → λ^*. O lokalizovaných stavech se většinou mluví jako o subgapové absorpci, což je zavádějící, protože většina zmíněných přechodů je realizována pro energie větší než je energie gapu Eg. V rámci UDM tento příspěvek je reprezentován dvěma parametry Eu (Urbachova energie - konstanta určující rychlost klesání exponenciální funkce, eV) a Nut (síla těchto přechodů, eV²). Tvar tohoto příspěvku ovšem závisí i na parametrech Eg a Eh, které jsou společné s parametry mezipásových přechodů (viz. obrázek 6). Parametr Em uvedený v tomto obrázku není nezávislý fitovací parametr, ale je dán vztahem Em = (Eg+Eh)/2.

Obrázek 8. Schématický diagram sdružené hustoty stavů reprezentující Urbachův (exponenciální) chvost.

modelfile

Universal:ex=2:he:ut

parfile

ex=2:he:ut
Nvc = 400
Eg = 5
Eh = 30
A0 = 1
Aex1 = 0.2
Eex1 = 6
Bex1 = 0.5
Aex2 = 0.3
Eex2 = 12
Bex2 = 1
Nvx = 1000
Ex = 10
Nut = 40 
Eu = 0.1

Obrázek 9. Optické konstanty počítané na základě modelu zahrnující excitace elektronů z/do lokalizovaných do/z delokalizovaných stavů (Urbachův chvost). Tečkovaná čára představuje model bez účasti lokalizovaných stavů. Šedé pruhy reprezentují absorpční prahy pro různě tlusté prostředí.

Poznamenejme, že použití termínu "Urbachův chvost" by mělo být omezené pouze na případ, kdy se jedná o efekty způsobené lokalizovanými stavy mající původ v neuspořádanosti amorfního materiálu. Typická hodnota Urbachovy energie je pro pokojovou teplotu 50 meV. V ostatních případech je vhodnější používat obecnější termín "exponenciální chvost". Průběh sdružené hustoty stavů použitý v UDM je daný předpokládanou symetrií valenčního a vodivostního pásu. Ve skutečnosti není důvod pro takovou symetrii pásů a model by měl obsahovat nejméně dvě Urbachovy energie odpovídající λ → σ^* a σ → λ^* absorpčním procesům. Navíc lokalizované stavy mající různý původ by měli mít i různé charakteristické energie i síly přechodu. V praxi je ale problém tyto procesy rozeznat a z našich zkušeností 2 parametrický model je dostatečný.

Absorpce na lokalizovaných stavech

Poslední elektronové excitace chybící v disperzním modelu jsou excitace mezi lokalizovanými elektronovými stavy reprezentované v základním schématu λ → λ^* přechody. V dielektrické odezvě tyto excitace lze velmi dobře modelovat pomocí gaussovsky rozšířeném diskrétním spektrem (gausovskými píky), kde každá charakteristická energie představuje jednotlivé typy lokalizovaných stavů. U širokých absorpčních píků ovšem nelze tyto příspěvky ztotožnit s těmito procesy (v tomto případě tento příspěvek reprezentuje spíše procesy λ → σ^* a σ → λ^*, tedy procesy popisované v předcházejícím odstavci). Každý absorpční pík je v modelu charakterizován třemi parametry: Eloc (charakteristická excitační energie odpovídající typu lokalizovaných stavů, eV), Bloc (rozšiřovací parametr gaussovského píku - rms hodnota, eV) a Nloc (síla těchto excitací, eV²).

Obrázek 10. Schématický diagram sdružené hustoty stavů gausovsky rošířených píků. V obrázku jsou znázorněny dva krajní případy, kdy rozšiřovací energie je srovnatelná nebo vyšší než charakteristická energie a kdy tato energie je vzhledem k excitační energii zanedbatelná.

modelfile

Universal:ex=2:he:ut:loc=2

parfile

ex=2:he:ut:loc=2
Nvc = 400
Eg = 5
Eh = 30
A0 = 1
Aex1 = 0.2
Eex1 = 6
Bex1 = 0.5
Aex2 = 0.3
Eex2 = 12
Bex2 = 1
Nvx = 1000
Ex = 10
Nut = 40 
Eu = 0.1
Nloc1 = 0.1
Eloc1 = 4.5
Bloc1 = 0.5
Nloc2 = 0.001
Eloc2 = 3
Bloc2 = 0.1

Obrázek 11. Optické konstanty počítané na základě modelu zahrnující excitace mezi dvěma typy lokalizovaných elektronových stavů. Tečkovaná čára představuje model bez těchto excitací. Šedé pruhy reprezentují absorpční prahy pro různě tlusté prostředí.

Příspěvky od volných elektronů

Bude implementováno.

Excitace jádrových elektronů

Bude implementováno.

Fononová absorpce

Fononová absorpce je v UDM modelovaná pomocí gaussovsky rozšířeného diskrétního spektra, tedy pomocí stejného modelu jako absorpce na lokalizovaných stavech. Pouze v modelu fononové absorpce používáme jiné jednotky pro popis charakteristické energie a pro rozšiřovací parametr: nuph (charakteristický vlnočet fononu, 1/cm), betaph (rozšiřovací parametr - fwhm hodnota, 1/cm) a Nph (síla fononů, eV²).

modelfile

Universal:ex=2:he:ut:loc=2:ph=6

parfile

ex=2:he:ut:loc=2:ph=6
Nvc = 400
Eg = 5
Eh = 30
A0 = 1
Aex1 = 0.2
Eex1 = 6
Bex1 = 0.5
Aex2 = 0.3
Eex2 = 12
Bex2 = 1
Nvx = 1000
Ex = 10
Nut = 40 
Eu = 0.1
Nloc1 = 0.1
Eloc1 = 4.5
Bloc1 = 0.5
Nloc2 = 0.001
Eloc2 = 3
Bloc2 = 0.1
Nph1 = 0.1
nuph1 = 1000
betaph1 = 100
Nph2 = 0.01
nuph2 = 750
betaph2 = 100
Nph3 = 0.05
nuph3 = 500
betaph3 = 100
Nph4 = 0.01
nuph4 = 1250
betaph4 = 100
Nph5 = 1e-5
nuph5 = 3600
betaph5 = 100
Nph6 = 1e-4
nuph6 = 100
betaph6 = 2500

Obrázek 12. Optické konstanty počítané na základě modelu zahrnující šest fononových excitací. Tečkovaná čára představuje model bez těchto fononových excitací. Šedé pruhy reprezentují absorpční prahy pro různě tlusté prostředí.

Pro demonstraci fononové absorpce jsme zvolili model s 6 absorpčními píky, reprezentující hypotetický materiál. Úzké absorpční píky s jasně definovaným vlnočtem v tomto příkladu fononové absorpce reprezentují jednofononové procesy (prvních 5 absorpčních píků), přičemž první 4 reprezentují vibrace převládajících atomů samotné atomové mříže. Vlnočty těchto vibrací se pohybují řádově ve stovkách 1/cm do hodnoty cca 1000 1/cm (čím jsou atomy těžší, tím jsou frekvence nižší a čím jsou vazby mezi atomy větší, tím jsou frekvence vyšší). Pátý slabý absorpční pík o vlnočtu v tisících 1/cm reprezentuje vazbu lehkého atomu na těžší atom vázaný v sítí (specificky hodnota 3600 1/cm odpovídá charakteristické hodnotě OH vazby). Síla tohoto píku odpovídá příměsové koncentraci, potom síla tohoto píku je úměrná hustotě příměsi v látce (pozor toto platí pouze pro nízké koncentrace vazeb). Poslední šestý absorpční pík nelze spojit s jednofononovou absorpcí a v modelu spíše reprezentuje absorpční pás odpovídající vícefononovým procesům. Počty píků, které volíme v disperzním modelu závisí jednak na typu materiálu, ale i na tloušťce zkoumaného materiálu. U tenké vrstvy většinou stačí modelovat jen nejsilnější píky odpovídající jenofononové absorpce u tlustých vrstev (destiček) se bez modelování vícefononové absorbce neobejdeme (v tomto případě efektivita tohoto modelu klesá s počtem absorpčních píků).

Publikováno

Materiál	Forma	Vzorek	Charakterizace	Rozsah	Publikováno	Výrobce	Vyhodnotil	Stáhnout
Al2O3, alumina, aluminium oxide	amorphous film (120 nm)	X2890	ellipsometry & photometry	FIR (80 1/cm) - VUV (10.8 eV)	SPIE 9628 (2015) 96281U	Meopta	Daniel Franta	parfile table figure
Si, silicon	crystalline, Float zone		ellipsometry & photometry	FIR (80 1/cm) - VUV (8.5 eV)	unpublished		Daniel Franta	parfile table figure
HfO2, hafnia, hafnium dioxide	amorphous film (120 nm)	X2194	ellipsometry & photometry	FIR (80 1/cm) - VUV (10.8 eV)	Applied Optics 54 (2015) 9108, SPIE 9628 (2015) 96281U	Meopta	Daniel Franta	parfile table figure
SiO2, silica, silicon dioxide	amorphous slab (0.405 mm)	Lithosil Q2	ellipsometry & photometry & OC (Palik data & Schott prism)	FIR (80 1/cm) - VUV (8.5 eV)	SPIE 9890 (2016) 989014	Schott	Daniel Franta	parfile table figure
MgF2, magnesium fluoride	polycrystalline film (120 nm)	X2935	ellipsometry & photometry	FIR (80 1/cm) - EUV (50 eV)	SPIE 9628 (2015) 96281U	Meopta	Daniel Franta	parfile table figure
SiO2, silica, silicon dioxide	amorphous film (800 nm)	X2546	ellipsometry & photometry	FIR (80 1/cm) - EUV (45 eV)	SPIE 9890 (2016) 989014	Meopta	Daniel Franta	parfile table figure
SiO2, silica, silicon dioxide	amorphous film (800 nm)	X2551	ellipsometry & photometry	FIR (80 1/cm) - EUV (50 eV)	SPIE 9628 (2015) 96281U	Meopta	Daniel Franta	parfile table figure
SiO2, silica, silicon dioxide	amorphous film (800 nm)	X2551	ellipsometry & photometry	FIR (80 1/cm) - EUV (45 eV)	SPIE 9890 (2016) 989014	Meopta	Daniel Franta	parfile table figure
Ta2O5, tantalum pentoxide	amorphous film (200 nm)	X2656	ellipsometry & photometry	FIR (80 1/cm) - VUV (8.7 eV)	SPIE 9628 (2015) 96281U	Meopta	Daniel Franta	parfile table figure
TiO2, titania, titanium dioxid	amorphous film (100 nm)	X2801	ellipsometry & photometry	FIR (80 1/cm) - VUV (10.8 eV)	SPIE 9628 (2015) 96281U	Meopta	Daniel Franta	parfile table figure